О свертке и дисперсии
Свертка может быть использована для математического описания множества явлений в окружающем нас мире. В первую очередь это относится к процессам какой-либо деградации или потери информации, т.е. нарастания энтропии в соответствии со вторым началом термодинамики. Сверткой двух функций f(x) и g(x) является третья функция h(x) , определяемая выражением:
Физический смысл этой операции наиболее нагляден в случаях, когда мы имеем дело с распределением той или иной величины во времени или пространстве (впрочем, при оптико-физических исследованиях нас только такие случаи и интересуют). Так,: если представить функцию f(x) в виде примыкающих друг к другу столбцов, то каждый столбец в ходе этой операции «разваливается» в равную по площади фигуру, форма которой задается функцией g(x). Затем все абсциссы этих фигур (сдвинутых друг относительно друга на ширину столбца) складываются, образуя общее "размытое" распределение, форма которого уже определяется h(x).
При этом , если ширину распределений, задаваемых функциями f(x) и g(x), можно охарактеризовать соответствующими дисперсиями (вторыми центральными моментами), то дисперсия распределения h(x) равна сумме дисперсий распределений f(x) и g(x).
Приведем несколько практических примеров. Допустим на выходной сигнал приемника наводится синусоидальная помеха, и соответствующее распределения погрешности f сигнала имеет М образный характер (большие погрешности отсчета сигнала порядка амплитуды колебаний, естественно, встречаются чаще, чем малые). На рисунке ниже иллюстрируются два случая (все графики нормированы на единицу в максимуме). В случае слева регистратор сигнала приемника обладает сравнительно небольшой случайной погрешностью отсчетов g, и результирующее распределение погрешности h слегка размывается, но сохраняет двумодальность. В случае справа регистратор сигнала приемника обладает большой случайной погрешностью отсчетов g, и результирующее распределение погрешности h практически полностью определяется функцией g. Напомним, что независимо от вида законов распределения погрешностей f и g , сумма их дисперсий равна дисперсии распределения h.
На следующем рисунке иллюстрируется искажение формы импульса СО2 –лазера (f) приемниками с различной длительностью импульсной характеристики (g). Даже более быстрый приемник (слева) заваливает и уширяет характерный для данного импульса лидер (типичная ошибка при измерениях). Медленный приемник полностью искажает форму импульса.
Наконец, на последнем рисунке приведен пример анализа участка спектра с двумя узкими линиями (f). Для того, чтобы оценить все параметры (ширину каждой линии, относительную мощность излучения и расстояние между линиями) аппаратная функция спектрального прибора (g) должна была бы приближаться к дельта-функции (в масштабе рисунка). В этом примере даже более узкая аппаратная функция (g) позволяет оценить только расстояние между линиями (сами линии сильно уширены). Что касается более широкой аппаратной функции (g), то она позволяет лишь сделать вывод, что на данном участке спектра излучение есть (иногда и это неплохо).
В заключение проиллюстрируем действие свертки в двумерном случае, характерном для работы с изображениями и другими пространственными распределениями. Здесь каждая из функций f, g и h зависит от двух переменных, а связь между ними осуществляется с помощью двойного интеграла, аналогичного вышеприведенному. На рисунке приведены четыре изображения. Крайнее левое - исходное; основная информация в нем (для конкретной сиcтемы)- это наличие яркого точечного блика примерно в центре кадра. Остальные кадры получены путем свертки исходного изображения (f) с различными ФРТ - функциями рассеяния точки (g). На втором слева кадре ФРТ представляет собой квадрат 3х3 из 9 пикселов, на третьм – квадрат 7х7 из 49 пикселов, на четвертом – квадрат 10х10 из 100 пикселов. Очевидно, что при больших ФРТ изображение сильно размывается и нужная информация теряется.
